SIMULASI KESEIMBANGAN, KESTABILAN DAN PERILAKU GALAU SISTEM DETERMINISTIK

 

(Equilibrium, steady state and chaotic behavior simulations of a deterministic system)

 

 

Oleh:

 

 

Rudy C Tarumingkeng, PhD

 

Guru besar Ekologi Kuantitatif, PPs-IPB

 

 

 

Model-model sistem yang bersifat deterministik sering kali memerlukan pengujian kestabilan, terutama jika model yang bersangkutan akan digunakan untuk keperluan peramalan. Analisis kestabilan adalah kajian atas proses perkembangan suatu sistem yaitu seberapa jauh perkembangan sistem yang dimodelkan menyimpang dari titik keseimbangan yang dicapainya.  Pada akhir uraian ini akan ditunjukkan bahwa dalam keadaan tertentu (status awal dan laju perubahan tertentu model deterministik menunjukkan perilaku galau (chaotic behavior).

 

1. KESEIMBANGAN DALAM PERTUMBUHAN POPULASI

 

Keadaan seimbang dikenal dengan beberapa istilah, sesuai dengan wawasan yang dikaji. Dalam kajian ekologi dan ekonomi istilah keseimbangan (equilibrium) sangat umum dipakai untuk menggambarkan keadaan dinamika sistem yang tidak mengalami gejolak. Apabila suatu sistem yang berada dalam keadaan seimbang salah satu subsistem atau komponen sistemnya mengalami gangguan (perturbasi) maka seluruh sistem akan berubah. Besarnya perubahan mungkin dalam kuantitas yang sangat kecil, tetapi setelah beberapa waktu perturbasi ini dapat memberikan akibat yang mungkin tidak terduga sebelumnya. Perturbasi yang kecil dapat juga menyebabkan peningkatan populasi untuk beberapa waktu jika terjadi peningkatan dalam amplitudo osilasi. Perubahan dalam keseimbangan pertumbuhan populasi yang berbentuk suatu gejolak yang besar dapat menyebabkan kerusakan terhadap ekosistem, kepunahan populasi atau ledakan yang membawa bencana. Keadaan seimbang yang stabil dalam literatur ekologi disebut stable equilibrium atau steady state. Dalam keadaan demikian perubahan-perubahan yang berlangsung dalam sistem dianggap sangat kecil dan tidak terlihat gejolak-gejolak yang berarti. Salah satu contoh adalah hutan alam yang dalam keadaan klimaks, atau hutan-hutan sekunder yang telah melalui beberapa suksesi dan mencapai keadaan seimbang yang stabil  (Tarumingkeng, 1994).

 

 

 

 

Gambar 1. Kurva pertumbuhan populasi hayati hipotetik.

 

Untuk memperoleh pengertian mengenai keseimbangan dan gejolak-gejolak perjalanan suatu sistem hayati kita perhatikan Gambar 1 yang mengilustrasikan perkembangan populasi yang bersifat hipotetik dari sejenis makhluk hidup.

 

Dengan mudah dapat kita bedakan tiga keadaan yang dialami oleh populasi N sepanjang  waktu t, yaitu:

 

1. keadaan pertumbuhan meningkat yang prosesnya agak stabil dari  t₀  -  t_a.

2. keadaan bergejolak turun-naik (osilatori),   t_a - t_b.

3. keadaan seimbang yang stabil dari t_b dan seterusnya.                                  

 

Pada pertumbuhan yang meningkat dengan mudah pula dapat kita mengatakan bahwa model pertumbuhannya mendekati eksponensial. Walaupun memang terdapat gejolak turun naik (osilasi) tetapi besarnya (magnitude) tidak begitu berarti dan pada umumnya pertumbuhan menggambarkan garis kecenderungan model eksponensial yang berlangsung stabil. Pada keadaan bergejolak kita perhatikan bahwa kisaran turun-naiknya (amplitudo) populasi sangat besar. Proses demikian menunjukkan suatu dinamika yang tidak stabil. Turun naiknya populasi tak terduga dan pada beberapa selang waktu, populasi menunjukkan ledakan-ledakan (k₁, k₂, k₃) yang khas pada epidemi hama dan patogen. Juga terdapat beberapa titik kritis (l₁, l₂, l₃) di mana pada waktu-waktu tersebut populasi seakan-akan menuju kepunahan. Tetapi gejolak-gejolak ini tidak berlangsung terus karena terjadi peredaman (damping) sehingga populasi selanjutnya berkembang ke tahap ketiga, yaitu keadaan seimbang yang mantap (stabil).

Pada keadaan seimbang stabil perkembangan populasi menunjukkan osilasi dengan amplitudo yang kecil dan dalam garis besar mengikuti suatu garis lurus.

 

2. KEADAAN SEIMBANG

 

Suatu populasi yang berada dalam keadaan seimbang stabil jika mengalami gangguan (perturbasi) akan kembali ke keadaan seimbang. Keadaan seimbang stabil digambarkan sebagai titik atraksi: titik atau status sistem yang sedikit menjauh dari keadaan seimbang yang stabil itu cenderung akan kembali ke keadaan semula. Pada keadaan seimbang yang tidak stabil (atau seimbang tidak mantap), sistem yang sedikit bergeser dari keadaan itu cenderung akan menjauhi titik seimbang tidak stabil. Titik keseimbangan stabil dalam beberapa literatur disebut titik atraksi, sedangkan titik keseimbangan tidak stabil disebut titik penolakan atau titik repulsi (Edelstein-Keshet, 1988). Kedua titik ini diilustrasikan dalam Gambar 2, sebagai bola A yang dalam keadaan seimbang stabil dan bola B seimbang tak stabil.

 

Setiap kali bola A digerakkan sedikit (perturbasi) ia akan kembali ke keadaan semula sedangkan bola B jika disentuh dengan tenaga yang amat kecil mungkin tidak akan bergeser tetapi sentuhan yang lebih keras sedikit (perturbasi) dapat menyebabkan bola B menggelinding jauh ke bawah dan tak akan kembali ke titik semula.

 

 

 

Gambar 2. Ilustrasi mengenai titik-titik keseimbangan stabil (A) dan tidak stabil (B); bola A dan bola B terletak di atas bidang bergelombang (lembah dan puncak).  A = titik atraksi (stabil),  B = titik repulsi (tak stabil).

 

Keadaan bola A menggambarkan status populasi yang seimbang stabil sedangkan bola B seimbang tak stabil. Gangguan yang sangat kecil yang merupakan batas antara dapat atau tidaknya bola B bergerak menjauh dari puncak bidang, merupakan salah satu perhatian dalam pembahasan mengenai keseimbangan. Hal ini analog dengan keadaan seimbang tidak stabil yang berlangsung dalam sistem populasi yang menjadi perhatian khusus para pakar ekologi, karena pada keadaan ini gangguan tertentu yang diberikan kepada populasi dapat mengakibatkan gejolak yang dampaknya dan waktunya sulit untuk diprediksi. Dalam keadaan demikian perubahan yang bersifat mendadak dan ekstrim dapat terjadi seperti ledakan atau epidemi, atau bahkan kemunduran luar biasa yang mengarah ke kepunahan sistem itu (system crash).

 

Dari ilustrasi mengenai bola A dan B ini dapatlah dipahami bahwa yang dimaksud dengan keseimbangan dalam sistem hayati adalah tidak terjadinya gejolak atau perubahan yang berarti dalam sistem dengan berlangsungnya

waktu. Dengan demikian maka jika pertumbuhan populasi yang berada dalam status seimbang pada waktu tkemudian diamati pada waktu  t+1 maka 

 

N_t = N_t+1     (1)

 

Dengan tak adanya perubahan, maka tidak terdapat laju pertumbuhan, sehingga dalam keadaan seimbang,

 

dN/dt = 0       (2)

 

 

3. ANALISIS KESEIMBANGAN PERSAMAAN DIFERENS LINIER

 

Perilaku persamaan diferens linier perlu ditinjau karena kaitannya dengan model-model populasi diskrit yang dikaji per generasi. Demikian pula, model linier berperan penting dalam analisis keseimbangan karena model-model non-linier yang diberi perturbasi di dekat status keseimbangan memiliki perilaku linier.

Persamaan diferens ordo n,

a₀N_t + a₁N_t-1 +... + a_nN_{t - n}  =  0,     atau

 

a₀N_t-n + a₁N_t-n-1 + ... + a_nN_t = 0          (3)

 

Misalkan persamaan (3) memiliki koefisien-koefisien homogen, yaitu a₀, a₁, ... a_n = konstan, maka pemecahan persamaan (3) terdiri  atas kombinasi linier dari persamaan dalam bentuk

 

N_t = C ƛ^t    atau     N_t = N₀ ƛ^t           (4)    

(C =N₀)

 

Nilai-nilai  ƛ  dapat dapat diperoleh dengan mencari akar ciri (eigen values) persamaan

 

a₀ ƛⁿ  + a₁ ƛ^n-1  +  …  +  a_n =  0         (5)

 

Banyaknya akar ciri adalah sebanyak ordo persamaan, yaitu n.

Untuk memperoleh gambaran mengenai  l  , akan ditinjau persamaan (4) dalam bentuk persamaan ordo 2 (persamaan kuadrat),

 

a₀ ƛ²  + a₁ ƛ   +  a₂ =  0      yang selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat:   

ƛ²  +  β ƛ   +  ᵧ   =   0         (6)        

                                    ( a₁/a₀  =  β   dan   a₂/a₀  =  ᵧ)

 

 Eigen values persamaan kuadrat (6)   ƛ_1,2  =   [ β  ±  ( β²  - 4 ᵧ)^1/2 ] / 2

 

Untuk nilai  ƛ  riel (diskriminan  0), penyelesaian dasar perilaku kualitatif persamaan (6) ditentukan oleh kisaran nilai  ƛ   berikut:

 

1.      ƛ >  1 ,              N₂ meningkat  (sesuai peningkatan t);

 

2.     0  <  ƛ  < 1 ,      N₂  menurun (dengan menurunnya t);

 

3.   - 1 < ƛ < 0 ,        N_t  berosilasi di antara nilai-nilai positif dan negatif dengan amplitudo yang lambat-laun semakin menurun ke 0 (osilasi konvergen, keseimbangan stabil);

 

4.  ƛ > -1 ,                N_t  juga berosilasi tetapi semakin besar amplitudonya (osilasi divergen, keseimbangan tak stabil).

 

Situasi 2 dan 3  di mana:   0  < ƛ  < 1   dan   - 1 < ƛ < 0   atau

  

nilai absolut  ƛ -->    l ƛ l  < 1         (7)

 

menunjukkan sebuah keseimbangan yang bersifat stabil,  berarti perturbasi (gangguan kecil) pada keadaan seimbang ini dapat diserap oleh sistem.  Jika ƛ = a , maka persamaan (4) menjadi:

 

N_t  = a^t N₀     atau     N_t+1 =  a N_t  ,

 

dan sesuai persamaan (7) bersifat seimbang stabil jika memenuhi persyaratan

 

| a|  <  1         (8)

 

 

4. METODE GRAFIK DENGAN ITERASI REKURSIF

 

Analisis model persamaan logistik di muka merupakan salah satu metode analisis keseimbangan bagi populasi model diferens nonlinier melalui metode linier. Di samping analisis dengan kalkulus keseimbangan dalam dinamika populasi dapat pula dianalisis dengan metode grafik.

 

Metode grafik juga merupakan salah satu cara untuk memperoleh gambaran visual bagaimana proses dinamika populasi mengikuti suatu persamaan atau model tertentu, dan untuk melakukannya parameter-parameter model perlu diberi nilai. Analisis yang mirip dengan analisis sensitivitas ini dilakukan dengan memplotkan nilai populasi pada saat tertentu (N_t+1) terhadap kerapatan populasi saat satu selang sebelumnya (N_t).

 

 

Gambar   3.   A.   Kurva  n =  f (N_t),  garis diagonal  N_t+1 = N_t

          B.   Contoh analisis grafik dengan iterasi.

 

 

Dalam keadaan seimbang maka kerapatan populasi pada waktu t+1 adalah sama dengan pada waktu t, sehingga N_t+1 = N_t.      Selanjutnya, jika  N_t+1  digrafikkan terhadap N_t yaitu

 

                                                 y = N _t+1  dan   x =  N_t

 

sebagai dua vektor yang sama besar maka akan terlihat (Gambar 3 A) bahwa garis diagonal m (45^o) merupakan garis keseimbangan.

 

Kurva n = f  (N_t)  adalah garis kisaran N_t+1 terhadap N_t dengan berjalannya waktu. Dalam keadaan seimbang populasi pada waktu t+1 sama dengan populasi waktu t  atau =  N_t :

 

N_t+1 = N_t

 

 sehingga titik potong proyeksi N_t dan N _t+1 terdapat ada diagonal m tersebut, bukan di n. Jika populasi menyimpang dari keseimbangan maka N_t+1 akan berada di kurva n. Perpotongan antara kurva n dengan diagonal (garis keseimbangan) m adalah titik S yang merupakan titik keseimbangan.

Cara menyusun grafik dengan iterasi adalah pertama-tama dibuat garis-garis N_t+1 dan N_t, tarik diagonal m kemudian dibuat kurva n.  Dengan memilih nilai awal N₀ dapat ditentukan N₁  (N₁  =  f  (N₀) pada kurva.  Proses ini diteruskan dengan N₂ =  f (N₁), N₃ =  f (N₂) dan seterusnya, seperti terlihat pada Gambar 3 B.  Kurva yang terbentuk tampak seperti tangga dan garis-garis sisi segi empat dan berputar ini disebut grafik jala-jala (atau grafik sarang laba-laba) yang diperoleh dengan cara iterasi rekursif seperti telah dikemukakan.  Gambar 3 B menunjukkan bahwa persamaan yang grafiknya dibuat adalah seimbang dan stabil. Perhatikan bahwa dimulai dari N₀ ke atas (vertikal) memotong kurva n, belok sejajar sumbu X memotong diagonal m, demikian seterusnya, dan terlihat bahwa garis menuju ke titik keseimbangan, dan berakhir di titik keseimbangan itu.

 

Selanjutnya pada bagian 5 berikut,  dengan persamaan diskrit: 

 

N_t+1 = r N_t (1 - N_t),

 

dilakukan simulasi iteratif untuk memperoleh grafik-grafik perkembangan populasi pada berbagai langkah waktu (t), dan untuk beberapa nilai N dan r, yaitu:

 

0 > N > 1     dan     1.8 > r > 4.

 

 

5. SIMULASI ITERASI GRAFIK 

 

Contoh simulasi iterasi grafik diberikan pada Gambar-gambar berikut, dengan berbagai nilai-nilai bagi laju pertumbuhan (r), keadaan populasi awal (N₀ ) dan lamanya waktu perkembangan (t). 

 

 

 

Gambar 4.1.   Simulasi dengan laju (r) = 3.35,    status awal populasi (N₀ ) = 0.703, dan lamanya waktu (t) = 20, atau  t = 0 … 20, menghasilkan pertumbuhan siatem populasi  divergen, dari titik keseimbangan menuju ke luar (tak stabil).

 

 

 

 

Ga                           Gambar 4.2.   r = 2.85, N₀ = 0.78,  t = 0 … 40   menghasilkan kurva pertumbuhan dengan osilasi  konvergen, kemudian osilasi berhenti, menuju titik keseimbangan (seimbang stabil).

 

 

 

              

Gambar 4.3.       r = 3.3, N₀ = 0.1,  t = 0 … 40 , menunjukkan perkembangan dengan kurva divergen kemudian berosilasi kekal, siklus dua titik.

 

 

 

Gambar 4.4.       r = 1.8, N₀ = 0.01,  t = 0 … 10.  Kurva menunjukkan perkembangan populasi yang seimbang stabil-menanjak, kemudian mencapai asimptot (daya dukung), tanpa osilasi. Kurva seperti ini adalah khas kurva logistik, dengan dua titik seimbang yaitu 0 dan K (stabil).

 

 

 

 

Gambar 4.5.  r = 3.5.  Kurva menunjukkan, setelah t = 10 osilasi permanen  dengan siklus dua titik.

 

 

 

 

Gambar 4.6.  r = 3.7 , N₀ = 0.2,   t = 0 … 100.  Kurva menunjukkan divergensi dan konvergensi yang berlangsung berulang-ulang dengan pola tidak teratur yang dikenal sebagai fenomena galau (chaotic).

 

 

 

 

Gambar 4.7.       r =  4,  N₀ =   t = 0 … 100 ,  kurva menunjukkan pertumbuhan yang tidak stabil dengan osilasi yang tak teratur (galau, chaos) dan tak dapat diramalkan. Keadaan chaos seperti ini dapat menimbulkan epidemi atau kepunahan populasi (population crash).

 

 

Literatur:

 

Edelstein-Keshet, L.   Mathematical Models in Biology. New York: Random House.

1988. 586 p.

 

Tarumingkeng, Rudy C . Dinamika Populasi. Kajian Ekologi Kuantitatif. Jakarta:

Pustaka Sinar Harapan dan UKRIDA. 1994. 284 p.

 

ã  2001 Rudy C Tarumingkeng PhD